מודל בלק-שולס
הנוסחה שחוללה מהפכה בשוקי ההון והפכה את תמחור האופציות ממלאכת קסם למדע מדויק
לפני שנת 1973, תמחור אופציות היה אומנות יותר ממדע. סוחרים השתמשו באינטואיציה וניסיון כדי להעריך כמה שווה הזכות לקנות או למכור מניה במחיר קבוע בעתיד. אז פרסמו פישר בלק ומיירון שולס (ובמקביל, רוברט מרטון) את הנוסחה שהכל שינתה. מודל בלק-שולס (Black-Scholes Model) הוא מודל מתמטי לתמחור אופציות אירופיות, שמחשב את המחיר ההוגן של אופציה על בסיס חמישה פרמטרים: מחיר הנכס, מחיר המימוש, זמן לפקיעה, ריבית חסרת סיכון ותנודתיות.1 שולס ומרטון זכו בפרס נובל לכלכלה ב-1997 על עבודתם (בלק נפטר ב-1995).
הנוסחה
מחיר אופציית Call (זכות קנייה) לפי בלק-שולס:
כאשר:
- C = מחיר אופציית ה-Call
- S₀ = מחיר הנכס הנוכחי (למשל, מחיר המניה)
- K = מחיר המימוש (Strike Price)
- T = זמן לפקיעה (בשנים)
- r = ריבית חסרת סיכון (בישראל: ריבית מק"מ)
- σ (סיגמא) = תנודתיות (Volatility) שנתית של תשואת הנכס
- N(x) = פונקציית ההתפלגות המצטברת הנורמלית הסטנדרטית
- e = הקבוע של אויילר (≈ 2.718)
מחיר אופציית Put (זכות מכירה) נגזר ממשפט Put-Call Parity:
דוגמה: תמחור אופציה על מניה ישראלית
מניית טבע נסחרת ב-60 ₪ (S₀). אופציית Call עם מחיר מימוש 65 ₪ (K) שפוקעת עוד 3 חודשים (T = 0.25). הריבית חסרת הסיכון: 4.5% (r = 0.045). התנודתיות השנתית: 30% (σ = 0.30).
d₁ = [ln(60/65) + (0.045 + 0.09/2) × 0.25] / (0.30 × √0.25) = [-0.0800 + 0.0225] / 0.15 = -0.383
d₂ = -0.383 - 0.15 = -0.533
N(-0.383) ≈ 0.351, N(-0.533) ≈ 0.297
C = 60 × 0.351 - 65 × e^(-0.045×0.25) × 0.297 = 21.06 - 19.11 = 1.95 ₪
המשמעות: המחיר ההוגן של האופציה הוא כ-1.95 ₪. אם היא נסחרת ב-2.50 ₪, היא מתומחרת ביתר. אם היא נסחרת ב-1.50 ₪, היא מתומחרת בחסר.
ה"יוונים" (Greeks): רגישות האופציה
מודל בלק-שולס מאפשר לחשב את רגישות מחיר האופציה לשינויים בכל אחד מהפרמטרים. מדדי הרגישות נקראים "יוונים" (Greeks):2
- דלתא (Δ): שינוי במחיר האופציה לכל שינוי של 1 ₪ במחיר הנכס. Call: 0 עד 1, Put: 0 עד -1. דלתא של 0.5 פירושה שהאופציה עולה ב-0.50 ₪ על כל עלייה של 1 ₪ במניה.
- גמא (Γ): קצב השינוי של דלתא. גמא גבוהה פירושה שדלתא משתנה מהר. אופציות "בכסף" (ATM) עם זמן קצר לפקיעה מראות גמא הכי גבוהה.
- תטא (Θ): שחיקת הזמן. כמה מחיר האופציה יורד כל יום שעובר (בהנחה ששאר הפרמטרים לא משתנים). שחיקה מואצת ככל שמתקרבים לפקיעה.
- וגא (ν): רגישות לתנודתיות. כמה מחיר האופציה ישתנה אם התנודתיות עולה ב-1%. וגא גבוהה באופציות עם זמן ארוך לפקיעה.
- רו (ρ): רגישות לשינויי ריבית. לרוב ההשפעה הקטנה ביותר, אך חשובה באופציות ארוכות טווח.
שימוש מעשי ביוונים
סוחר אופציות בבורסת תל אביב שמחזיק 100 אופציות Call עם דלתא 0.4 חשוף תיאורטית כאילו מחזיק 40 מניות. אם הוא רוצה "לנטרל" את החשיפה (Delta Hedging), הוא ימכור בשורט 40 מניות. כך, תנועות קטנות במניה לא ישפיעו על הפוזיציה, והרווח יבוא מתנודתיות (וגא) או מזרימת הזמן (תטא).
הנחות המודל ומגבלותיו
בלק-שולס מבוסס על הנחות שלא תמיד מתקיימות במציאות:3
- תשואות מתפלגות נורמלית: במציאות, אירועים קיצוניים (זנבות שמנים) שכיחים יותר מהתפלגות נורמלית. ירידה של 20% ביום "לא אמורה" לקרות לפי המודל, אך היא קורה.
- תנודתיות קבועה: המודל מניח σ קבוע. בפועל, התנודתיות משתנה (Volatility Smile/Skew). לכן קיים "חיוך" של תנודתיות גלומה בין אופציות במחירי מימוש שונים.
- שוק רציף: המודל מניח מסחר רציף ללא גאפים. בורסת תל אביב סגורה בלילה ובסופי שבוע, מה שיוצר גאפים.
- ללא עלויות עסקה: בפועל, עמלות מסחר ומיסים (25% מס רווחי הון על אופציות בישראל) משפיעים על הכדאיות.
- אופציות אירופיות בלבד: הנוסחה מתאימה לאופציות שניתנות למימוש רק בתאריך הפקיעה. אופציות אמריקאיות (שניתנות למימוש בכל עת) דורשות מודלים מורכבים יותר (Binomial Tree).
תנודתיות גלומה (Implied Volatility)
בפרקטיקה, סוחרים לא משתמשים בבלק-שולס כדי למצוא את מחיר האופציה. הם יודעים את המחיר (הוא נסחר בבורסה) ומשתמשים בנוסחה "הפוך" כדי למצוא את ה-σ שהשוק מתמחר. זו התנודתיות הגלומה (IV), שמשקפת את ציפיות השוק לתנודתיות עתידית. IV גבוה = השוק מצפה לתנועות חדות. מדד VIX ("מדד הפחד") מבוסס על חישוב ממוצע משוקלל של IV על אופציות מדד S&P 500.
סיכום
מודל בלק-שולס שינה את עולם הפיננסים. למרות מגבלותיו, הוא עדיין נקודת המוצא לכל תמחור אופציות בעולם, כולל בבורסת תל אביב. הבנת הנוסחה והיוונים היא הכרחית לכל מי שנוגע באופציות: ממשקיעים שרוצים לגדר את התיק שלהם ועד סוחרים שמנסים להרוויח מתנודתיות. המודל לא מושלם, אך כמו שאמר ג'ורג' בוקס: "כל המודלים שגויים, אבל חלקם שימושיים". בלק-שולס הוא אולי המודל השימושי ביותר בפיננסים.
מקורות
- Black, F. & Scholes, M. "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." Journal of Political Economy (1973) journals.uchicago.edu ↗ ↩
- Hull, J.C. "Options, Futures, and Other Derivatives." Pearson (2022) ↩
- Investopedia. "Black-Scholes Model: Definition, Formula, and Limitations" investopedia.com ↗ ↩
מושגי מפתח
תנודתיות גלומה (Implied Volatility)
התנודתיות שהשוק "מתמחר" באופציה. מחושבת הפוך מנוסחת בלק-שולס: בהינתן מחיר שוק של האופציה, מהי ה-σ שמייצרת את המחיר הזה. מדד VIX מבוסס עליה.
Volatility Smile
תופעה שבה תנודתיות גלומה של אופציות "מחוץ לכסף" גבוהה מאופציות "בכסף", ויוצרת צורת חיוך בגרף. סותרת את הנחת בלק-שולס של σ קבוע.
Delta Hedging (גידור דלתא)
אסטרטגיה שמנטרלת את החשיפה לתנועות מחיר הנכס על ידי החזקת מניות בכמות ההפוכה לדלתא של האופציה. דורשת עדכון מתמיד ככל שהדלתא משתנה.
Put-Call Parity
משוואה שקושרת בין מחיר אופציית Call, אופציית Put, מחיר הנכס ומחיר המימוש. מבטיחה שאין הזדמנות ארביטראז' בין קנייה של Call למכירה של Put.
VIX (מדד הפחד)
מדד שמבוסס על תנודתיות גלומה של אופציות על S&P 500. ערך גבוה (מעל 30) מעיד על פחד בשוק, ערך נמוך (מתחת ל-15) על שאננות. משמש כאינדיקטור לסנטימנט השוק.