מודל בלק-שולס
הנוסחה שחוללה מהפכה בשוקי ההון והפכה את תמחור האופציות ממלאכת קסם למדע מדויק
לפני שנת 1973, תמחור אופציות היה אומנות יותר ממדע. סוחרים השתמשו באינטואיציה וניסיון כדי להעריך כמה שווה הזכות לקנות או למכור מניה במחיר קבוע בעתיד. אז פרסמו פישר בלק ומיירון שולס (ובמקביל, רוברט מרטון) את הנוסחה שהכל שינתה. מודל בלק-שולס (Black-Scholes Model) הוא מודל מתמטי לתמחור אופציות אירופיות, שמחשב את המחיר ההוגן של אופציה על בסיס חמישה פרמטרים: מחיר הנכס, מחיר המימוש, זמן לפקיעה, ריבית חסרת סיכון ותנודתיות.1 שולס ומרטון זכו בפרס נובל לכלכלה ב-1997 על עבודתם (בלק נפטר ב-1995).
הנוסחה
מחיר אופציית Call (זכות קנייה) לפי בלק-שולס:
כאשר:
- C = מחיר אופציית ה-Call
- S₀ = מחיר הנכס הנוכחי (למשל, מחיר המניה)
- K = מחיר המימוש (Strike Price)
- T = זמן לפקיעה (בשנים)
- r = ריבית חסרת סיכון (בישראל: ריבית מק"מ)
- σ (סיגמא) = תנודתיות (Volatility) שנתית של תשואת הנכס
- N(x) = פונקציית ההתפלגות המצטברת הנורמלית הסטנדרטית
- e = הקבוע של אויילר (≈ 2.718)
מחיר אופציית Put (זכות מכירה) נגזר ממשפט Put-Call Parity:
דוגמה: תמחור אופציה על מניה ישראלית
מניית טבע נסחרת ב-60 ₪ (S₀). אופציית Call עם מחיר מימוש 65 ₪ (K) שפוקעת עוד 3 חודשים (T = 0.25). הריבית חסרת הסיכון: 4.5% (r = 0.045). התנודתיות השנתית: 30% (σ = 0.30).
d₁ = [ln(60/65) + (0.045 + 0.09/2) × 0.25] / (0.30 × √0.25) = [-0.0800 + 0.0225] / 0.15 = -0.383
d₂ = -0.383 - 0.15 = -0.533
N(-0.383) ≈ 0.351, N(-0.533) ≈ 0.297
C = 60 × 0.351 - 65 × e^(-0.045×0.25) × 0.297 = 21.06 - 19.11 = 1.95 ₪
המשמעות: המחיר ההוגן של האופציה הוא כ-1.95 ₪. אם היא נסחרת ב-2.50 ₪, היא מתומחרת ביתר. אם היא נסחרת ב-1.50 ₪, היא מתומחרת בחסר.
ה"יוונים" (Greeks): רגישות האופציה
מודל בלק-שולס מאפשר לחשב את רגישות מחיר האופציה לשינויים בכל אחד מהפרמטרים. מדדי הרגישות נקראים "יוונים" (Greeks):2
- דלתא (Δ): שינוי במחיר האופציה לכל שינוי של 1 ₪ במחיר הנכס. Call: 0 עד 1, Put: 0 עד -1. דלתא של 0.5 פירושה שהאופציה עולה ב-0.50 ₪ על כל עלייה של 1 ₪ במניה.
- גמא (Γ): קצב השינוי של דלתא. גמא גבוהה פירושה שדלתא משתנה מהר. אופציות "בכסף" (ATM) עם זמן קצר לפקיעה מראות גמא הכי גבוהה.
- תטא (Θ): שחיקת הזמן. כמה מחיר האופציה יורד כל יום שעובר (בהנחה ששאר הפרמטרים לא משתנים). שחיקה מואצת ככל שמתקרבים לפקיעה.
- וגא (ν): רגישות לתנודתיות. כמה מחיר האופציה ישתנה אם התנודתיות עולה ב-1%. וגא גבוהה באופציות עם זמן ארוך לפקיעה.
- רו (ρ): רגישות לשינויי ריבית. לרוב ההשפעה הקטנה ביותר, אך חשובה באופציות ארוכות טווח.
הנחות המודל ומגבלותיו
בלק-שולס מבוסס על הנחות שלא תמיד מתקיימות במציאות:3
- תשואות מתפלגות נורמלית: במציאות, אירועים קיצוניים (זנבות שמנים) שכיחים יותר מהתפלגות נורמלית. ירידה של 20% ביום "לא אמורה" לקרות לפי המודל, אך היא קורה.
- תנודתיות קבועה: המודל מניח σ קבוע. בפועל, התנודתיות משתנה (Volatility Smile/Skew). לכן קיים "חיוך" של תנודתיות גלומה בין אופציות במחירי מימוש שונים.
- שוק רציף: המודל מניח מסחר רציף ללא גאפים. בורסת תל אביב סגורה בלילה ובסופי שבוע, מה שיוצר גאפים.
- ללא עלויות עסקה: בפועל, עמלות מסחר ומיסים (25% מס רווחי הון על אופציות בישראל) משפיעים על הכדאיות.
- אופציות אירופיות בלבד: הנוסחה מתאימה לאופציות שניתנות למימוש רק בתאריך הפקיעה. אופציות אמריקאיות (שניתנות למימוש בכל עת) דורשות מודלים מורכבים יותר (Binomial Tree).
תנודתיות גלומה (Implied Volatility)
בפרקטיקה, סוחרים לא משתמשים בבלק-שולס כדי למצוא את מחיר האופציה. הם יודעים את המחיר (הוא נסחר בבורסה) ומשתמשים בנוסחה "הפוך" כדי למצוא את ה-σ שהשוק מתמחר. זו התנודתיות הגלומה (IV), שמשקפת את ציפיות השוק לתנודתיות עתידית. IV גבוה = השוק מצפה לתנועות חדות. מדד VIX ("מדד הפחד") מבוסס על חישוב ממוצע משוקלל של IV על אופציות מדד S&P 500.
סיכום
מודל בלק-שולס שינה את עולם הפיננסים. למרות מגבלותיו, הוא עדיין נקודת המוצא לכל תמחור אופציות בעולם, כולל בבורסת תל אביב. הבנת הנוסחה והיוונים היא הכרחית לכל מי שנוגע באופציות: ממשקיעים שרוצים לגדר את התיק שלהם ועד סוחרים שמנסים להרוויח מתנודתיות. המודל לא מושלם, אך כמו שאמר ג'ורג' בוקס: "כל המודלים שגויים, אבל חלקם שימושיים". בלק-שולס הוא אולי המודל השימושי ביותר בפיננסים.
שאלות נפוצות
בפרקטיקה, סוחרים משתמשים בנוסחה "הפוך": הם מציבים את מחיר השוק של האופציה ומחלצים את התנודתיות הגלומה (IV). זה חושף את ציפיות השוק לתנודתיות עתידית ומאפשר להשוות בין אופציות שונות על אותו נכס. גם מחשבוני אופציות באתרי בתי ההשקעות הישראליים מבוססים על המודל הזה. בלי בלק-שולס, לא הייתה דרך אובייקטיבית להעריך אם אופציה יקרה או זולה.
היוונים מופיעים בפלטפורמות המסחר של בתי ההשקעות הישראליים. דלתא עוזרת להבין את החשיפה לתנועת המניה, תטא מראה כמה ערך האופציה נשחק כל יום, ווגא מראה רגישות לתנודתיות. לדוגמה, אם אתם מוכרים אופציות (כותבים), תטא חיובית פירושה שזמן עובד לטובתכם. סוחרי אופציות מנוסים משתמשים בדלתא כדי לבנות פוזיציות מגודרות שמרוויחות מתנודתיות.
המודל מניח שהתשואות מתפלגות נורמלית, שהתנודתיות קבועה, ושאין עלויות עסקה. במציאות, אירועים קיצוניים קורים בתדירות גבוהה יותר (כמו קריסות שוק), התנודתיות משתנה כל הזמן, ובישראל יש מס רווחי הון של 25% ועמלות מסחר. בנוסף, המודל מדויק רק לאופציות אירופיות, בעוד אופציות רבות בבורסת תל אביב הן אמריקאיות. למרות הכל, הוא נשאר נקודת ההתייחסות העיקרית.
אם מודל בלק-שולס היה מושלם, כל האופציות על אותו נכס עם אותו מועד פקיעה היו מראות אותה תנודתיות גלומה. בפועל, אופציות מחוץ לכסף מראות תנודתיות גלומה גבוהה יותר, ויוצרות צורת "חיוך" בגרף. זה קורה כי השוק "מתמחר" סיכון של אירועים קיצוניים שהמודל לא צופה. עבור המשקיע הישראלי, הבנת התופעה עוזרת להבין למה אופציות הגנה (Put OTM) יקרות יחסית.
תנודתיות היסטורית (HV) מחושבת מנתוני עבר של מחיר הנכס ומשקפת מה שכבר קרה. תנודתיות גלומה (IV) מחולצת ממחיר האופציה בבורסה ומשקפת את ציפיות השוק לעתיד. כשה-IV גבוהה מה-HV, השוק מצפה לתנודתיות חזקה יותר מהרגיל, ולהפך. סוחרי אופציות מנוסים מנסים לזהות מצבים שבהם הפער בין השתיים חריג ולנצל אותם.
אופציות מעו"ף (על מדד ת"א-35) הן אופציות אירופיות, כלומר ניתנות למימוש רק בפקיעה, ולכן מודל בלק-שולס מתאים להן ישירות. בפרקטיקה, בתי ההשקעות הישראליים מציגים את ערכי היוונים ואת התנודתיות הגלומה המחושבים לפי המודל. אפשר להשתמש בכלים אלה כדי לבנות אסטרטגיות מורכבות, לגדר תיקי השקעות, או לזהות תמחור חסר של אופציות.
- Black, F. & Scholes, M. "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." Journal of Political Economy (1973)(1973) journals.uchicago.edu ↗ ↩
- Hull, J.C. "Options, Futures, and Other Derivatives." Pearson (2022)(2022) ↩
- Investopedia. "Black-Scholes Model: Definition, Formula, and Limitations" investopedia.com ↗ ↩נבדק לאחרונה: 30/04/2026
מושגי מפתח
תנודתיות גלומה (Implied Volatility)
התנודתיות שהשוק "מתמחר" באופציה. מחושבת הפוך מנוסחת בלק-שולס: בהינתן מחיר שוק של האופציה, מהי ה-σ שמייצרת את המחיר הזה. מדד VIX מבוסס עליה.
Volatility Smile
תופעה שבה תנודתיות גלומה של אופציות "מחוץ לכסף" גבוהה מאופציות "בכסף", ויוצרת צורת חיוך בגרף. סותרת את הנחת בלק-שולס של σ קבוע.
אסטרטגיה שמנטרלת את החשיפה לתנועות מחיר הנכס על ידי החזקת מניות בכמות ההפוכה לדלתא של האופציה. דורשת עדכון מתמיד ככל שהדלתא משתנה.
Put-Call Parity
משוואה שקושרת בין מחיר אופציית Call, אופציית Put, מחיר הנכס ומחיר המימוש. מבטיחה שאין הזדמנות ארביטראז' בין קנייה של Call למכירה של Put.
מייסד
השקעתי שנים בהייטק ובשוק ההון. ניהלתי בעצמי את הפנסיה, הביטוחים וההשקעות שלי, של המשפחה ושל החברים, ובמקביל אני מוביל קהילת משקיעים פעילה כבר שנים. כל ערך במידע-הון מתורגם ישירות מהחוק והרגולציה לעברית קריאה, כדי שהמסמך הבא שיגיע אליך בדואר יהיה מובן. גם בעשר וחצי בלילה.
תחומי מומחיות